2025年台湾南投高考二模试卷数学

1、已知函数 (其中，为常数),若,则的值为(   ).

A. B.  C. D.

2、已知函数，则（       ）

A．的最小正周期为

B．的定义域为

C．的图象关于对称

D．在上单调递增

3、已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（       ）

A．离心率为

B．焦点为

C．长轴长为4

D．椭圆上的点的横坐标取值范围为

4、若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

5、函数在的图象为（   ）

A.     B.

C.     D.

6、我们可以把（1+1%）看作每天的“进步"率都是1%，一年后是；而把（1-1%）365看作每天的“落后”率都是，一年后是，可以计算得到，一年后的“进步”是“落后"的，倍，如果每天的“进步"率和“落后”率都是，大约经过（       ）天后，“进步”是“落后”的10000倍

A．17

B．18

C．21

D．23

7、函数的图象大致是（       ）

A．

B．

C．

D．

8、2020年11月，兰州地铁号线二期开通试运营．甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（       ）

A．

B．

C．

D．

9、设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

10、命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A．

B．

C．

D．

11、的内角、、的对边分别为、、，已知，，，则的面积为（   ）

A．

B．

C．

D．

12、设，且，，则等于（   ）

A．   B．   C．   D．或

13、已知正方体的棱的中点为，与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为(   )

A. B. C. D.

14、若，则（   ）．

A.0 B. C.1 D.不存在

15、若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

16、已知圆心在直线上，且与x轴相切，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（   ）

A. B.

C. D.

17、若直线与圆相切，则实数（       ）

A．1

B．

C．

D．4

18、不等式的解集为（   ）

A.或 B.

C. D.或

19、函数在点处的切线平行于轴, 则（ ）

A． B． C．   D．

20、已知长方体，，，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的正切值是（       ）

A．

B．

C．

D．

21、甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为__________．

22、设实数满足，则的最小值为_________．

23、已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．

24、已知函数，函数（且）.若当时，函数与函数的值域的交集非空，则实数的取值范围为___________.

25、已知是第三角限角，化简__________ ;

26、已知等差数列的通项公式为，则的展开式含项的系数是该数列的第__________项．

27、在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线： ， ，曲线： ， .

（Ⅰ）求曲线的一个参数方程；

（Ⅱ）若曲线和曲线相交于， 两点，求的值．

28、如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．

(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；

(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．

①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；

②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

29、已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

30、数列满足，，设．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设，求数列的前n项和为．

31、在直角坐标系中，曲线的方程为：.

(1)以过原点的直线的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；

(2)设曲线C上任一点为，求的取值范围.

32、已知数列满足，.

（1）求证数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和.