北京2025届高一数学下册二月考试题

1、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（       ）

A．192里

B．96里

C．12里

D．6里

2、设的内角所对边的长分别为，若，则角（   ）

A．   B．   C．   D．

3、如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（       ）个．

①若E为的中点，则直线平面

②三棱锥的体积为定值

③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为

④过点，C，E的截面的面积的范围是

A．1

B．2

C．3

D．4

4、已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（       ）

A．

B．

C．4

D．6

5、已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．

6、某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（       ）

A．26

B．30

C．32

D．36

7、在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

8、将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，则图象的一条对称轴可以是(   )

A. B. C. D.

9、若函数只有一个极值点，则a的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

10、已知直线过点，则“直线的斜率为”是“直线被圆：所截弦长为”的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11、如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

12、下列说法错误的是（   ）

A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B.对于命题，，则，

C.若m，，“”是“”的必要不充分条件

D.若为假命题，则p，q均为假命题

13、已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ）

A. B. C. D.

14、已知椭圆和直线，点A，B在直线l上，射线分别交椭圆C于M，N两点．则当面积取到最大值时，是（ ）

A．锐角

B．直角

C．钝角

D．都有可能

15、明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的

A．25

B．45

C．60

D．75

16、关于函数有下述四个结论：

①函数的图象把圆的面积两等分

②是周期为的函数

③函数在区间上有3个零点

④函数在区间上单调递减

其中所有正确结论的编号是（   ）

A.①③④ B.②④ C.①④ D.①③

17、i是虚数单位，复数z满足：，则（       ）

A．

B．

C．

D．

18、已知函数 ，若存在实数使得不等式 成立，求实数 的取值范围为

A.   B.

C.   D.

19、已知三维数组，，且，则实数（       ）

A．-2

B．-9

C．

D．2

20、如图，在正方体中，为棱的中点，为底面内一点，则“为棱的中点”是“平面”的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

21、已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间内，则公差d的取值范围是________．

22、已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_____________.

23、设变量，满足约束条件，则的最小值为__________．

24、命题，的否定为________．

25、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为__________．

26、直线恒过定点A，则A点的坐标为______．

27、如图，在四棱锥中，平面，是正三角形，，．

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．

28、如图，一岛礁旁有两条航道与，.一日，我方船只甲在航道上巡逻，在与相距50公里的点处，发现不明身份的船乙刚驶过点，并沿方向以40公里/小时的速度运动，船甲立即沿方向以公里/小时（）的速度追击，且甲到达点即停止前行（乙可继续前进）.设甲出发时，经过小时甲，乙之间的距离为公里，当最小时，可以达到最佳的驱离距离.

（1）试求的解析式，并写出定义域；

（2）求最多经过多长时间，我船可以达到最佳的驱离距离？

29、设.

（1）若，且为函数的一个极值点，求函数的单调递增区间；

（2）若，且函数的图象恒在轴下方，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.

30、某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为，标准长分别为则“口径误差”为只要“口径误差”不超过就认为合格，已知这台车床分昼､夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品．

（Ⅰ）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率；

（Ⅱ）若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？

31、已知函数，是其导函数．

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若，证明：在区间内至多有1个零点．

32、如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形， 底面为上一点，且.

（1）证明： ；

（2）若，求三棱锥的体积.