2025-2026年广东中山高二上册期末数学试卷(解析版)

考试时间： 90分钟满分： 150分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共15题，共 75分）

1、如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的方法数为（）
A．60
B．61
C．5
D．
2、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）
A. B. C. 6 D. 10
3、函数的递增区间是（）
A．
B．
C．，
D．
4、已知空间向量，且，则等于（）
A．1
B．2
C．3
D．
5、在正方体中，和分别为，和的中点．，那么直线与所成角的余弦值是（）
A．
B．
C．
D．
6、我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（）
A．
B．
C．
D．
7、用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，则．
其中正确命题的序号是（）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
8、在中，下列等式中总能成立的是（）
A．
B．
C．
D．
9、已知数列满足，，则（）
A．
B．
C．
D．
10、已知，则（）
A. B. C. D.
11、如图，设，若，则（）
A．
B．
C．
D．
12、曲线上的点到直线的最短距离是（）
A. B. 2 C. D. 1
13、如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A. B. C. D.
14、下列说法中，正确的是 (　　)
A. 棱柱的侧面可以是三角形
B. 若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形
C. 正方体的所有棱长都相等
D. 棱柱的所有棱长都相等
15、已知双曲线的离心率为，则双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为（）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题（共10题，共 50分）

16、如果，其中，______时，最大.（注：是整数）
17、某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到）
18、经过点作直线交椭圆于、两点,且为中点,则直线的方程为______.
19、甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．
20、等差数列是递增数列，满足，前n项和为，则最小值时___________．
21、已知等差数列中，，若，则_______．
22、某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为　．
23、已知的展开式中的常数项为8，则_________.
24、已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为__________．
25、直线被圆截得弦的长为___________．

三、解答题（共5题，共 25分）

26、2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男

55
女

合计

（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
27、已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，该椭圆与y轴正半轴交于点M，且△MF1F2是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F2任作一直线交椭圆于A，B两点，平面上有一动点P，设直线PA，PF2，PB的斜率分别为k1，k，k2，且满足k1+k2=2k，求动点P的轨迹方程.
28、如图，椭圆的左顶点，点都在椭圆上不与顶点重合且关于坐标原点对称，其中点在第一象限，线段的中点是，点在轴上的投影是，直线交椭圆C于另一交点.直线的斜率分别是.
(1)求证：是定值并求出该定值；
(2)求证：；
(3)求面积的最大值.
29、设，求：
（1）；
（2）
30、记是等差数列的前n项和，若，
(1)求的通项公式，并求的最小值；
(2)设，求数列的前n项和