杭州2025学年度第一学期期末教学质量检测高二数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、设数列的前n项和为，若，则（）
A．243
B．244
C．486
D．488
2、不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A. 或 B. C. D. 或
3、设是公比为，首项为的等比数列，是其前项和，则点（）
A.一定在直线上 B.一定在直线上
C.一定在直线上 D.一定在直线上
4、执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（）
A． B．
C． D．
5、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
6、已知集合，是虚数单位，为整数集，则集合中的元素个数是(　　)
A. B. C. D.
7、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8、已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）
A．
B．
C．
D．
9、等腰直角三角形ABC中,,点D为斜边BC上的三等分点,且,则
A．0
B．
C．2
D．
10、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
11、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
12、已知，，则（）
A. B. C. D.
13、已知单位向量，满足，则向量与的夹角是（）
A．0
B．π
C．0或π
D．
14、已知，，，则
A．
B．
C．
D．
15、如图，正方体的棱长为1，点在棱的延长线上，且，点是侧面内的一动点，若平面，则点的轨迹的长度是（）
A．
B．
C．1
D．2
16、如果复数是实数，则实数（）
A. B． C． D.
17、已知向量，，且，则实数等于（）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
18、设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（）
A．
B．
C．
D．
19、，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的有（）个
①若，，，，则
②若，，则
③若，，则
④异面直线，满足：，，且，，则
A. B. C. D.
20、在以下关于向量的命题中，不正确的是（）
A．若向量，向量，(xy≠0)，则
B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是.
C．中，和的夹角等于
D．点G是的重心，则

二、填空题（共6题，共 30分）

21、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接处一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是________.
22、某校期末统考数学成绩服从正态分布．按，，，的比例将考试成绩划为四个等级，其中分数大于或等于83分的为等级，则等级的分数应为___________．（用区间表示）
23、函数的反函数是______．
24、已知是等比数列的前项和，成等差数列，，则___．
25、在中，角的对边分别为，若，，，则______.
26、已知，，则的最大值为___________．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、随着我国经济的发展，人们生活水平的提高，汽车的保有量越来越高．汽车保险费是人们非常关心的话题．保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
上一年的出险次数
次以上（含次）
下一年的保费倍率
连续两年没有出险打折，连续三年没有出险打折
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：，，，，，，，．设由这组数据得到的回归直线方程为．
（1）求的值．
（2）某车主蔡先生购买一辆价值万元的新车．
①估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费．
②若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到店询价，预计修车费用为元，保险专员建议蔡先生自费（即不出险），你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由．（假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保）．
28、已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程．
29、2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望.
30、已知函数 ,其中为自然对数的底数).
（1）讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间；
（2）设,若函数对任意都成立,求的最大值.
31、已知分别为双曲线的左､右顶点，为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上异于点的另一点，当点坐标为时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，直线交双曲线的右支于点，判断直线与直线的交点是否在一条定直线？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.
32、如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，点是的中点．
（1）证明：平面．
（2）已知点是边上靠近点的三等分点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．