2024-2025学年度第一学期初三数学竞赛试卷

1、已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是

A. 相交   B. 相切   C. 相离   D. 无法判断

2、函数与（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能（       ）

A．

B．

C．

D．

3、下列各式与是同类二次根式的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4、抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（ ）

A．（2，5）

B．（2，﹣19）

C．（﹣2，5）

D．（﹣2，﹣43）

5、已知是的三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列判断形状准确的是（  ）

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

6、若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（       ）

A．或3

B．－1或1

C．0或2

D．2或4

7、下列方程中，一定是一元二次方程的是（        ）

A．

B．

C．

D．

8、如图，直线，为的三等分线，，，则的度数为（　　）

A．

B．

C．或

D．或

9、一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同．将球摇匀后，从中任意摸出一个球，则摸到白球是（       ）

A．必然事件

B．不可能事件

C．确定事件

D．随机事件

10、学校花园有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为，在同一时刻下甲、乙木杆的影长分别为和，则甲木杆的高度为（   ）

A. B. C. D.

11、已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么=________．

12、如图，、、、是上的四个点，，交于点，，，则___________．

13、在比例尺为1：38000的泰州旅游地图上，某条道路的长为7cm，则这条道路的实际长度为_________km．

14、【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如左图，在△ABC中，点D是BC中点，则有：．

【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如右图，点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且，若，当△EPB面积最大时，则CD的长为_____．

15、已知、分别是的边、上的点（不与端点重合），要使得与相似，那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．

16、近几年，我国经济飞速发展，但企业退休工人的待遇相对较低，为提高公平度，国家决定大幅度提高退休工人的退休金．已知某企业工人李师傅从2011年每月退休金1500元涨到2013年每月2160元，若设李师傅的退休金从2011到2013年平均年增长率为x，由题意可得关于x的一元二次方程为_____．

17、如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．

（1）这两个三角形相似吗？为什么？

（2）请直接写出∠A的度数　   　；

（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．

18、计算：．

19、如图，是的高，，求的长．

20、2022年4月23日是第27个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，推动校园文化的发展，我校七年级积极响应号召，举行了第十三届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额．小华建议，用游戏的方法来选人．游戏规则是：利用如图所示被平均分成6份的转盘，随意转动转盘，若指针指到偶数，则小明去；反之，则小华去．你认为这个游戏公平吗？说说你的理由．

21、作图题：(保留作图痕迹，不写做法)

(1)已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心O。

(2)考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，如图所示．现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．请利用直尺（无刻度）和圆规，在图中找出圆心O.

22、如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标．

（3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．

23、已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，若BD是⊙O的直径，AC平分∠BCD，过A作∠BAE＝∠BDA，AE与CB的延长线交于点E．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

24、如图，在中，平分，E是上一点，且．

(1)求证：；

(2)若，求的值．