2025年吉林四平高考三模试卷数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、函数，则方程的根的个数是（）
A.7 B.5 C.3 D.1
2、（）
A. B. C. D.
3、如果，，那么下列不等式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
4、如图，在四边形ABCD中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥，使平面平面BCD，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.三棱锥的体积为
5、，若的最小值恰好为1，则实数a的最大值是（）
A．1
B．
C．
D．
6、已知，，则（）
A．
B．
C．
D．
7、已知集合，则集合的真子集个数是（）
A.3 B.6 C.7 D.8
8、如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
9、中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为（）
A．
B．
C．1
D．
10、某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温
17
13
8
2
月销售量（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）
A．58件 B．40件 C．38件 D．46件
11、某商品一个月的销售额y（万元）与这个月的广告费x（万元）具有相关关系，且回归方程为＝9.7x+2.4.若该商品某个月的广告费为8万元，估计这个月广告费与销售额的比值为（）
A．
B．
C．
D．
12、设是双曲线的右顶点，是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是
A．
B．
C．
D．
13、设集合，，则（）．
A. B. C. D.
14、已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
15、已知双曲线：的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
16、为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）
A．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
17、已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（）
A．
B．
C．
D．
18、已知直线：，：，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
19、已知，，，则（）
A．
B．
C．
D．
20、设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（）
A．
B．
C．
D．

二、填空题（共6题，共 30分）

21、如图，在直三棱柱中，，，，，点E，F分别是，AB上的动点，当的长度最小时，三棱锥外接球的表面积为___________.
22、如图所示，半径为4的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域.在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积约为_________.
23、如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．
24、等差数列的前项和为，若，则当取到最大值时__________.
25、已知平面向量，则等于______________.
26、实数满足条件，则的最大值为__________．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、以点为圆心的圆与轴相交于点，，与轴相交于点（为坐标原点）.
（1）求证的面积为定值，并求出这个定值；
（2）设直线与圆相交于点，且，求圆的方程.
28、已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和.
29、为了更好地帮助高二学生准备生物地理的等级考试，复旦附中就“住校备考”还是“回家备考”问题进行了抽样调查，调查数据如下表（单位：人）：

住校备考
回家备考
合计
男
4
8
12
女
10
3
13
合计
14
11
25
(1)根据表中数据回答，能否有95%以上的把握判定是否回家备考与性别有关？
(2)从“回家备考”的11人中选出4人进行座谈，设参加座谈的男生人数为X，求X的分布和期望.
说明：解答本题，可以参考如下资料：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.01
k
1.323
2.072
2.706
3.841
6.635
.
30、随着生活水平不断的提高，人们越来越注重养生.科学健身有利于降低脂肪含量，健身器材成为人们新宠.某小区物业决定选购一款健身器材，物业管理员从该品牌的销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
月份
月
月
月
月
月
月份编号
销量（万台）
(1)求出销量关于月份编号的线性回归方程，并预测该年月份该品牌器材销量；
(2)该品牌销售商为了促销采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子有编号为的三个完全相同的小球，有放回的摸三次，三次摸的是相同编号的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同编号的享受八折优惠，其余的均九折优惠.已知此款器材一台标价为元，设物业公司购买此健身器材的价格为，求的分布列与期望.
附：参考公式与数据：对于线性回归方程，其中，，，，.
31、已知函数.
（1）指出并证明函数的奇偶性
（2）求函数的值域.
32、已知等差数列的前n项和为，，且．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．