2025年河北唐山高考数学第三次质检试卷

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、在平面直角坐标系中，若直线上存在动点P，使得过点P的椭圆的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
2、“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将到这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（）
A．项
B．项
C．项
D．项
3、双曲线：的左､右焦点是，，过且斜率为的直线交双曲线第二象限于点，若点是的中点，且.则此双曲线的离心率为（）
A．4
B．5
C．6
D．
4、已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为
A．
B．
C．
D．
5、新冠疫情严重，全国多地暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学习，为了提高学生的学习积极性和检测教学成果，某校计划对疫情期间学习成绩优秀的同学进行大力表彰．对本校100名学生的成绩（满分：100分）按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论错误的是（）
A．若本次测试成绩不低于80分为优秀，则这100人中成绩为优秀的学生人数为25
B．该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多
C．该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
D．该校疫情期间约有40%的人得分低于60分或不低于90分
6、若集合，，则（）．
A．
B．
C．
D．
7、体育品牌的为可抽象为：如图背靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（）
A．
B．
C．
D．
8、记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（）
A．
B．
C．
D．
9、若关于的方程恰有3个不相等实根，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
11、已知是双曲线的左，右焦点，是双曲线上一点，且，若△的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12、函数的单调减区间为（）
A．
B．
C．
D．
13、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
14、集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
15、设，则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
16、在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17、若，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
18、已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
19、若z，则复数在复平面内对应的点在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
20、2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：
①双纽线Γ的方程为；
②面积最大值为；
③；
④的最大值为．
其中所有正确命题的序号是（）
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

二、填空题（共6题，共 30分）

21、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________．
①；②；③事件B与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件
22、某公司销售部派5人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市工作，要求每个城市都有人去，每人只去一个城市，且在这5人中甲、乙不去广州，则不同的分派方案共有______种.（用数字作答）
23、已知球O是三棱锥的外接球，，，点D为BC的中点，且，则球O的体积为________.
24、已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为_________.
25、已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是______.
26、已知向量，，，若，则______．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
28、某控制器中有一个易损部件，该部件由两个电子元件按图1方式连接而成.已知这两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.（一个月按30天算）

（1）求该部件的使用寿命达到一个月及以上的概率；
（2）为了保证该控制器能稳定工作，将若干个同样的部件按图2连接在一起组成集成块.每一个部件是否能正常工作相互独立.某开发商准备大批量生产该集成块，在投入生产前，进行了市场调查，结果如下表：
集成块类型
成本
销售金额
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ

其中是集成块使用寿命达到一个月及以上的概率，为集成块使用的部件个数.报据市场调查，试分析集成块使用的部件个数为多少时，开发商所得利润最大？并说明理由.
29、设函数的最小值为.
（1）求的值
（2）若，，为正实数，且，求证：
30、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）直接写出曲线的普通方程；
（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．
31、2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：

男
女
合计
喜欢吃月饼人数(单位：万人)
50
40
90
不喜欢吃月饼人数(单位：万人)
30
20
50
合计
80
60
140
为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：
已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.
（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？
（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求的分布列与期望值.
32、已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线E的标准方程．
(2)过的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，若直线的斜率分别为，证明：是，的等差中项．